UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL

MAT1039 - ENSINO E APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA II DIEGO, LUCAS - 2005/1

SÓLIDOS DE PLATÃO - VOLUMES E TRANFORMAÇÕES

Este é um trabalho destinado à educação de crianças do ensino fundamental, ideal para um aprimoramento do raciocínio em crianças que já conheçam geometria espacial, que estejam aprendendo sobre volumes, relacionando volumes de diferentes figuras e buscando semelhanças e ligações entre elas.

 

Questionar quais as características percebidas em cada sólido (arestas, faces, ...)

Número de faces: 4

Número de arestas: 6

Número de vértices: 4

 

 

Número de faces: 6

Número de arestas: 12

Número de vértices: 8

 

 

Número de faces: 8

Número de arestas: 12

Número de vértices: 6

 

 

Induzir uma comparação entre os sólidos, procurar possíveis relações...

É possível transformar algum destes sólidos em um dos outros?

E se fizermos alguns cortes?

Onde devemos cortar? Por que?

Tetraedro inscrito no Hexaedro

Traçando a diagonal de uma face e, na face oposta traçar uma diagonal de maneira ortogonal a primeira, após isso ligar as extremidades destas diagonais entre si através de diagonais das outras faces, teremos assim as seis arestas do tetraedro, nota-se que a cada dois vértices consecutivos do hexaedro, um e somente um será vértice do tetraedro, assim temos quetro vértices do hexaedro que não serão vértices do tetraedro e outros quatro que serão comuns aos dois sólidos.

Do volume:

Para uma notação genérica, tomemos o lado do hexaedro como sendo X, portanto o volume do hexaedro será X3.

Para que nos reste o tetraedro devemos, a partir do hexaedro cortar as pirâmides ABCF, FGHC, EFHA e ACDH, cada uma com volume igual a (X.X.X)/(2.3) = X3/6 .   Como são quatro pirâmides, o volume do tetraedro será X3-4(X3/6) = X3-(2/3)X3 = X3/3

Então:

Volume do tetraedro = 1/3 do volume do hexaedro

Octaedro inscrito no Hexaedro

Marcar o centro de cada face, estes serão os vértices do octaedro, nomeados na figura acima como IJKLMN, assim todas as arestas (IJ, IK, IL, IM, JK, KL, LM, MJ, NJ, NK, NL, NM) terão medida (X/2).Ö 2, usando X para lado do hexaedro.

Do volume:

O octaedro pode ser visto como duas pirâmides, como por exemplo JKLMI  e JKLMN, cada uma com volume                 [(X/2).Ö 2]2.(X/2).(1/3) = X3/12, Sendo duas pirêmides, o volume total do octaedro será igual a X3/6

Então:

Volume do octaedro = 1/6 do volume do hexaedro

Octaedro inscrito no tetraedro

Marcando o ponto médio em todas as arestas do octaedro (AB=I, AC=H, AD=E, BC=G, BD=F, CD=J), cortando assim, as pirâmides AIHE, BIFG, CHGJ e DJFE.

Do volume:

Tomando por base o triangulo ABC e determinando AB=x, IC=y e DP=z, sendo P ponto médio de GH, temos então que o volume do tetraedro é x.y.z/6.

A pirâmide DJFE pode ter como base o triângulo EFJ, tomando para centro deste triângulo o ponto P' e K ponto médio de EF, temos então EF=x/2, KJ=y/2 e P'D=z/2. Assim o volume da pirâmide DJFE será: (x/2).(y/2).(z/2)/6 = x.y.z/48. Logo, o volume do octaedro será (x.y.z/6)-4.(x.y.z/48) = (x.y.z/6)-(x.y.z/12) = x.y.z/12

Então:

Volume do octaedro = 1/2 do volume do tetraedro

Hexaedro inscrito no octaedro

O hexaedro inscrito no octaedro terá os vértices localizados nos baricentros das faces do octaedro.

Do volume:

Tomando x como valor do comprimento de cada aresta do octaedro, temos que seu volume será: x3.Ö 2 /3. A altura do hexaedro será 1/3 da altura do octaedro, ou seja, x.Ö 2 /3. Portanto o volume do cubo será x3.2 2 /27.

k.x3.Ö 2 /3 = x3.2 2 /27 Þ k = 2/9

Então:

Volume do hexaedro = 2/9 do volume do octaedro