Cálculo de ∏ pelo método de Arquimedes

O método de Arquimedes consiste em encontrar  o valor aproximado de , a partir da construção de duas  seqüências de números,  sn e Sn, respectivamente construídas pelo cálculo do valor dos lados  de duas seqüências  de polígonos, inscritos e circunscritos no círculo de raio 1, que se aproximam do círculo, por dentro e por fora.

No  limite,  as seqüências dos perímetros destes polígonos  e se aproximam da circunferência, 2. Calculam-se assim boas aproximações para , a menor e a maior.

Para obter estas duas seqüências, Arquimedes iniciou o cálculo por s6, o lado do hexágono inscrito no círculo  de raio 1.

É fácil ver que s6=1, pois o hexágono determina, no interior do círculo de raio 1, 6 triângulos eqüiláteros, com ângulos de 60º e dois lados coincidentes com raios.

Sabendo que s6 = 1, Arquimedes deduziu  o valor de  S6, o lado do  hexágono circunscrito ao mesmo círculo.

Para generalizar este passo, deduzimos  uma equação que fornece Sn, lado do polígono circunscrito, em função de sn, lado do polígono inscrito. (Dedução 1)

 Sabendo s6 e S6, Arquimedes obteve duas seqüências de números: a seqüência  de lados dos polígonos inscritos, com lados 6, 12, 24, 48, 96, etc ; e igualmente, : a seqüência  de lados dos polígonos circunscrios, com lados 6, 12, 24, 48, 96, etc.

Para generalizar este passo, mostramos a seguir como se deduz uma equação que fornece o lado – s2n - do polígono regular inscrito com 2n lados, em função do lado – sn  - do polígono inscrito com n lados.(Dedução 2)

Também  mostramos a seguir como se deduz uma equação que fornece o lado – S2n - do polígono regular  circunscrito com 2n lados, em função do lado – Sn  - do polígono circunscrito com n lados.(Dedução 3)

Utilizando os valores de s96 e S96, por exemplo, pode-se obter os perímetros p96 e P96. Estes valores são muito próximos de 2.

p96 < 2 < P96

Dividindo a ambos por 2, obtemos duas aproximações de

3,14016 < < 3,14208

Ou seja, obtemos as duas primeiras casas de ∏.

Fazemos estes cálculos, a seguir: Cálculo de (1)  e Cálculo de (2).

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