Cálculo de ∏ pelo método de Arquimedes

O método de Arquimedes consiste em encontrar  o valor aproximado de ∏, a partir da construção de duas  seqüências de números,  s_n e S_n, respectivamente construídas pelo cálculo do valor dos lados  de duas seqüências  de polígonos, inscritos e circunscritos no círculo de raio 1, que se aproximam do círculo, por dentro e por fora.

No  limite,  as seqüências dos perímetros destes polígonos  e se aproximam da circunferência, 2∏. Calculam-se assim boas aproximações para ∏, a menor e a maior.

Para obter estas duas seqüências, Arquimedes iniciou o cálculo por s₆, o lado do hexágono inscrito no círculo  de raio 1.

É fácil ver que s₆=1, pois o hexágono determina, no interior do círculo de raio 1, 6 triângulos eqüiláteros, com ângulos de 60º e dois lados coincidentes com raios.

Sabendo que s₆ = 1, Arquimedes deduziu  o valor de  S₆, o lado do  hexágono circunscrito ao mesmo círculo.

Para generalizar este passo, deduzimos  uma equação que fornece S_n, lado do polígono circunscrito, em função de s_n, lado do polígono inscrito. (Dedução 1)

 Sabendo s₆ e S₆, Arquimedes obteve duas seqüências de números: a seqüência  de lados dos polígonos inscritos, com lados 6, 12, 24, 48, 96, etc ; e igualmente, : a seqüência  de lados dos polígonos circunscrios, com lados 6, 12, 24, 48, 96, etc.

Para generalizar este passo, mostramos a seguir como se deduz uma equação que fornece o lado – s_2n - do polígono regular inscrito com 2n lados, em função do lado – s_n  - do polígono inscrito com n lados.(Dedução 2)

Também  mostramos a seguir como se deduz uma equação que fornece o lado – S_2n - do polígono regular  circunscrito com 2n lados, em função do lado – S_n  - do polígono circunscrito com n lados.(Dedução 3)

Utilizando os valores de s₉₆ e S₉₆, por exemplo, pode-se obter os perímetros p₉₆ e P₉₆. Estes valores são muito próximos de 2∏.

p₉₆ < 2∏ < P₉₆

Dividindo a ambos por 2, obtemos duas aproximações de ∏

3,14016 < ∏ < 3,14208

Ou seja, obtemos as duas primeiras casas de ∏.

Fazemos estes cálculos, a seguir: Cálculo de ∏(1)  e Cálculo de ∏(2).

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